受験生を泣かせた長野県の数学入試問題を俺なりに解説する

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受験生を泣かせる入試問題

1年以上前のソースなんですけども、


泣き出す受験生続出。超難問といわれる長野県の高校入試問題を解いてみた – 週刊プレイボーイのニュースサイト – 週プレNEWS

今日偶然TLで見かけてチェケラしてみました。
内容によると、相当難しい問題だったようで、受験中に泣き出す受験生も出たとか。

ん~。実際の問題が掲載されてるのを見たけど、正直そこまで理不尽なほど難しいとは思えなかったなあ。
知識というよりも答えまでの道筋を出す発想が問われそうな問題で、しっかり勉強してる中3生ならあまり苦労しないのでは?という印象。入試本番でいきなりこれが出たら一瞬「!?」となる気持ちは分かりますが。

で、せっかく俺も解いてみたので、自分なりの解法を解説したいと思いますます。
文系脳なのでもっとスマートな解法があるかもしれませんが、どうぞご容赦を。

問題画像はこちら

問題をまだ読んでない方は、一度目を通して考えてみてから解説に進んでくださいませませ。


長野県の数学入試問題の解説

設問を順番に解いていきます。

この問題に限ったことじゃないですが、設問では常に「何を聞かれているのか?」「どこを求めるのか?」といったことはきっちり理解しておく必要があります。ゴールが分からなければそこへはたどり着けないですからね。

(1)①の解説

APが円Oの直径になるというのは、PがAの反対側にあるときです。
この円の周は12cmなので、半分、つまり6cm進んだところです。
Pは1秒で2cm進むので、まずは3秒後に1回目の直径タイムになります。

で、問題は「2回目」とあります。
この地点に再び来るにはここから1周しないといけないのでさらに追加で6秒かかります。
ということはスタートしてから3+6で合計9秒かかるので、座標は(x,y)=(9,6)です。

答え・・・(x,y)=(9,6)

(1)②の解説

これはグラフを見ればすぐだと思います。
先ほどの通り、Pは1秒ごとに2cm進むのでy=2x+b(切片)です。
ですが、6秒後には一周してますので距離は0に戻ります。なので(6,0)を代入して、y=2x-12がでます。

答え・・・y=2x-12

(2)①(ア)の解説

a=3ということは、点Qは周のまわりを1秒で3cm進むということです。
周の長さは12cmなので、4秒で一周しますね。 yは「残りの道のり」ですから、0秒後は12cmで、4秒後には0cmになります。
後は簡単にy=-3x+12が出せます。

グラフで書くとこんな感じ↓

BZFXWRjCMAA-kgU

答え・・・y=-3x+12

(2)①(イ)の解説

ここからは「PQとAB」が平行になるというワードが出てきます。
これは図にするとこんな感じです。

無題

反対方向に進む2つの点が上下で同じ地点にくることですね。
ABは最初から一直線に茶柱のようにストンと立ってますので、
PQも図のように茶柱にしないといけません。これが大前提です。

こういうグルグル系は上から見ると分かりやすいです。
上から見た図がこれです。

むだい

反対方向に動いているPとQがこのように1つの場所で巡りあった時、
つまりラブずっきゅんした時、ABとPQが並行になります。

また、ここで、PとQの動き方をおさらいしておきます。
Pは1秒に2cm進むのでy=2x、Qは先ほど出した通りy=-3x+12ですね。
これを理解した上で設問にいきます。

では(イ)の問題です。
PとQが出会った時に平行になるのはもうお分かりだと思いますが、問題には「4回目」とあります。
これが受験生を悩ませる原因になります。これはグラフを描こうとしてもきちんとした答えが出ません。
受験生が泣くとしたらここなんですね。

そして、ここまででPとQの動き方が正確に式で表せていることから、

「これは連立方程式で解けるやん」という考えに至ります。

(ココらへんは出題者の意図かもしれません)

 

なので連立方程式で答えを出すのがいいと思います。
PとQは常に一定のスピードで進んでいるので、「最初に巡りあうまでの時間」を出して、
それを単純に4倍すれば、「4回目に巡りあうまでの時間」が求められます。

ここで先ほどのy=2xとy=-3x+12で連立方程式を解くと、x=12/5と出ます。
これが「最初に出会うまでの時間」ですね。

で、これを4倍して48/5。
つまり(イ)の答えは48/5秒後、または9.6秒後になります。

答え・・・48/5秒後(9.6秒後)

(2)②の解説

この問題の意味は
「Pの進む速さは決まっている。Qが出発して、7秒後にPと3回めぐり合えるようなQの速さを求めよ」
ということです。

Pは常に「1秒で2cm」と決まってますから、図にするとこうです。

1

Pは6秒で一周するので、7秒間では「1周分+2cm」進みます。
つまり図では、AとPの間は2cm離れてます。

そして、このPと3回巡りあうには、Qはこのように回ればよいわけです。

2

つまり2周分からAP間の2cmを引いた分ですね。
ここが一番大事ですよ。

1周は12cmなので「2周分-2cm」は22cmになります。
つまり、QがPに3回巡りあうには、7秒間で22cm進めばよいわけです。
あとは速さと距離の公式で、速度は22/7cmですね。

答え・・・22/7

 


まとめ

おそらくこの他にもいろんな解法があると思います。
ポイントは、PとQの動きをしっかりと頭の中や図でイメージして、
「この値を求めるためにはこれを使ってこうすればいい」という道筋を立てることです。

その力は1日2日では身につかないですし、
今までに習った知識の中から必要なものをうまく引き出して使う必要があります。
これは数学だけではなく他の教科もそうですね。

受験生の皆さんはこれから佳境だと思いますが、頑張ってくださいね!
では!

ABOUTこの記事をかいた人

から揚げと音ゲーとFカップが好きな関西人。普段は塾の先生として楽しくお仕事しています。このブログではいろんなことをおもしろおかしく書くことを目標としています。 さらに詳しいプロフィールはこちら